Construindo o Gráfico de Funções Seno Inversos

O gráfico de não é uma função um-a-um desde que ele falhe na linha horizontal. Por causa disso, ela não tem uma função inversa. Essa situação é ilustrada no gráfico abaixo pela linha vermelha representando e a linha azul representando o gráfico da inversa. Note que a inversa não é uma função desde que ela falhe no teste da linha vertical.

;

> with(plots):

> a:=implicitplot(x-sin(y),y=-6..6,x=-6..6,color=red):

> b:=implicitplot(y-sin(x),y=-6..6,x=-6..6,color=blue):

> display({a,b});

Querendo tornar a inversa da função, o domínio desta função seno deve ser restrito para um intervalo onde o gráfico é crescente e decrescente. Embora muitos intervalos satisfaçam esse requerimento, aquele que universalmente concorda com esse intervalo é:

.

Por que o domínio de não é restrito aos intervalos [0, ], [ , ], ou [- , 0]?

R: As funções seno são ambas crescentes e decrescentes nesses intervalos.

Examine o gráfico da função seno e desta inversa no intervalo:

.

;

> with(plots):

> a:=implicitplot(x-sin(y),y=-Pi/2..Pi/2,x=-Pi/2..Pi/2,color=red):

> b:=implicitplot(y-sin(x),y=-Pi/2..Pi/2,x=-Pi/2..Pi/2,color=blue):

> display({a,b});

Qual é a extensão expressada na notação intervalo da função seno restrita?

R: [-1, 1].

Qual o domínio expressado na notaçao intervalo da função seno inversa?

R: [-1, 1].

Os gráficos da função seno restrita e da função seno inversa são reflexos uma da outra com respeito a qual reta?

R: .

Usando o domínio restrito , a função seno é uma função um-a-um a qual tem uma função inversa. A inversa da função seno restrita é denotada por , lemos "seno inverso", ou por .

ATENÇÃO: O -1 em não é um expoente. Consequentemente, . O (- 1) é usado para denotar função inversa.

A definição da função seno inversa afirma que se e somente se , onde e .

Isto irá ajudá-lo a encontrar o valor de uma função trigonométrica inversa como um ângulo. Por exemlo, se , então y é o ângulo no intervalo cujo seno é 1.

O ângulo cujo seno é 1 pode ser determinado numericamente em uma tabela de valores ou graficamente. Examine a tabela de valores e gráfico de .

= -1.5707

= -0.848

= -0.523

= -0.252

= 0

= 0.2526

= 0.5235

= 0.8480

= 1.5707

> plot(arcsin(x),x=-1..1);

Baseado no gráfico e na tabela de valores, determine o ângulo (expressado em radianos) que corresponde a ?

R: .

Qual ângulo (expressado em radianos) é a solução de ?

R: .

Encontre o valor exato de cada função seno inversa.

a)

> restart:

> x:=sqrt(2)/2:

> y:=arcsin(x);

R: .

b)

> restart:

> x:=1/2:

> y=arcsin(x);

R: .

c)

> restart:

> x:=sqrt(3)/2:

> y=arcsin(x);

R: .

d)

> restart:

> x:=-1:

> y=arcsin(x);

R: .

Construindo Gráficos de Funções Cosseno Inversas

Exatamente como com , o gráfico de não é uma função um-a-um desde que ele falhe no teste da linha horizontal. Por causa disto, ele não tem uma função inversa. Esta situação está ilustrada no gráfico abaixo como uma linha azul representando e a linha gráfica representando o gráfico da inversa. Note que a inversa não é desde que ela falhe no teste da linha vertical.

;

> with(plots):

> a:=implicitplot(x-cos(y),y=-6..6,x=-6..6,color=blue):

> b:=implicitplot(y-cos(x),y=-6..6,x=-6..6,color=red):

> display({a,b});

Querendo que a inversa seja uma função, o domínio da função cosseno deve ser restrito ao intervalo onde o gráfico é crescente e decrescente. Embora muitos intervalos satisfaçam esse requerimento, aquele que universalmente concorda com este intervalo [0, ].

Por que o domínio de não é restrito ao intervalo ou ?

R: A função cosseno é ao mesmo tempo crescente e decrescente no intervalo.

Examine os gráficos da função cosseno e esta inversa no intervalo restrito .

;

> restart:

> with(plots):

> implicitplot(y-cos(x),x=0..3,y=-2..2);

> implicitplot(x-cos(y),x=-1..1,y=0..3);

Qual é a extensão expressada na notação intervalo da função cosseno restrita?

R: [-1, 1].

Qual é o domínio expressado na notação intervalo da função cosseno inversa?

R: [-1, 1].

A definição da função cosseno inversa afirma que se e somente se , onde e . O gráfico de demonstra que para cada x entre - 1 e 1, existe exatamente um número y entre 0 e para cujo .

O ângulo cujo cosseno é pode ser determinado numericamente em uma tabela de valores ou graficamente. Examine a tabela de valores e o gráfico de .

= 3.1415

= 2.4188

= 2.0943

= 1.8234

= 1.5707

= 1.3181

= 1.0471

= 0.7227

= 0

> plot(arccos(x),x=-1..1);

Baseado no gráfico ou na tabela de valores, qual o ângulo (expresso em radianos) correspondente a ?

R: .

Qual ângulo (expressado em radianos) é a solução de ?

R: .

Encontre o valor exato de cada função cosseno inversa.

a)

> restart:

> x:=sqrt(2)/2:

> y:=arccos(x);

R: .

b)

> restart:

> x:=-1/2:

> y=arccos(x);

R: .

c)

> restart:

> x:=sqrt(3)/2:

> y=arccos(x);

R: .

d)

> restart:

> x:=-1:

> y=arccos(x);

R: .

Construindo o Gráfico da Função Tangente

Examine o gráfico de no intervalo .

> plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-10..10);

Explique porque não é uma função um-a-um.

R: O teste da linha horizontal falha.

Examine o gráfico da função inversa de no intervalo .

> with(plots):

> implicitplot(x-tan(y),x=-3..3,y=-2*Pi..2*Pi);

Explique porque o gráfico da inversa de não é uma função.

R: O teste da linha vertical falha.

Querendo que a inversa seja uma função, o domínio da função tangente é restrito para o intervalo aberto .

Explique porque o domínio da função tangente é um intervalo aberto.

R: é indefinida quando ou quando .

> restart:

> with(plots):

> a:=plot(tan(x),x=-Pi/2..Pi/2,y=-1.5..1.5,color=blue):

> b:=implicitplot(x-tan(y),x=-Pi/2..Pi/2,y=-1.5..1.5,color=red):

> display({a,b});

Qual é a extensão expressada na notação intervalo da função tangente restrita?

R: (- , ).

Qual é o domínio expressado na notação intervalo da função tangente inversa?

R: (- , ).

Os gráficos das funções tangentes restritas e a função tangente inversa são reflexo uma da outra em qual linha?

R: .

A definiçao da função tangente inversa afirma que se e apenas se , onde e .

O ângulo cuja tangente é 0 pode ser determinado numericamente por uma tabela de valores ou graficamente. Examine a tabela de valores e o gráfico de .

(-10) = -1.4711

(-9 ) = -1.4601

(-8 ) = -1.4464

(-7 ) = -1.4288

(-6 ) = -1.4056

(-5 ) = -1.3734

(-4 ) = -1.3258

(-3 ) = -1.2490

(-2 ) = -1.1071

(-1 ) = -0.7853

( 0 ) = 0

( 1 ) = 0.78539

( 2 ) = 1.10714

( 3 ) = 1.24904

( 4 ) = 1.32581

( 5 ) = 1.37340

( 6 ) = 1.40564

( 7 ) = 1.42889

( 8 ) = 1.44644

( 9 ) = 1.46013

(10 ) = 1.47112

> plot(arctan(x),x=-3..3,y=-2..2);

Qual ângulo (expresso em radianos) é a soluçao de ?

R: 0.

Encontre o valor exato de cada função tangente inversa.

a)

> restart:

> x:=1:

> y:=arctan(x);

R: .

b)

> restart:

> x:=-sqrt(3):

> y=arctan(x);

R: .

c)

> restart:

> x:=sqrt(3)/3:

> y=arctan(x);

R: .

Aprofundando seus Conhecimentos

Explique como os gráficos tem sido transformados.

a)

> plot(arcsin(x)+2,x=-1..1,y=0.6..3.5);

R: Essa curva tem sido permutada 2 unidades do gráfico de .

b)

> plot(2*arccos(x),x=-1..1,y=-1..6);

R: Essa curva tem sido estendida verticalmente por um fator de 2 do gráfico de .

c)

> plot(arctan(x-1)+2,x=-3..3,y=0..3);

R: Essa curva tem sido permutada para a direita 1 unidade e 2 unidades acima do gráfico de .

d)

> plot(arcsin(x+1)-2,x=-2..0,y=-4..-0.5);

R: Esta curva tem sido permutada para a esquerda 1 unidade e 2 unidades para baixo do gráfico de .